Tính xấp xỉ số Pi bằng cách... thả kim xuống sàn nhà

Chúc mừng Ngày số Pi! Ngày 14 tháng 3 (viết theo kiểu Mỹ là 3/14) là dịp để những người duy lý nhất cũng phải kỷ niệm con số vô tỉ này, bởi 3, 1 và 4 là ba chữ số đầu tiên của Pi. Và quả thực, số Pi xứng đáng có một ngày của riêng mình. Theo định nghĩa, nó là tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn, nhưng nó lại xuất hiện ở khắp mọi nơi, trong cả những lĩnh vực dường như không liên quan gì đến hình tròn, từ âm nhạc đến cơ học lượng tử.

Pi là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Làm sao chúng ta biết điều đó? Con người đã tính toán nó đến 314 nghìn tỷ chữ số thập phân mà vẫn chưa tìm thấy điểm kết thúc. Đến mức này, có lẽ chúng ta nên chấp nhận sự thật đó. Cơ quan hàng không vũ trụ NASA cũng chỉ sử dụng 15 chữ số thập phân đầu tiên để định vị tàu vũ trụ, và con số đó đã là quá đủ cho các ứng dụng trên Trái Đất.

Điều thú vị nhất là có rất nhiều cách để tính xấp xỉ giá trị này. Ví dụ, bạn có thể làm điều đó bằng cách cho một vật nặng dao động trên lò xo. Nhưng có lẽ phương pháp kỳ lạ nhất đã được chứng minh vào năm 1777 bởi George Louis Leclerc, Bá tước Buffon.

Bài toán cây kim của Buffon

Nhiều thập kỷ trước đó, Buffon đã đặt ra một câu hỏi xác suất trong hình học: Hãy tưởng tượng bạn có một sàn nhà với các đường thẳng song song cách đều nhau một khoảng d. Lên sàn nhà này, bạn thả một loạt cây kim có chiều dài L. Vậy xác suất để một cây kim cắt một trong các đường thẳng song song đó là bao nhiêu?

Để dễ hình dung, giả sử chúng ta chỉ thả hai cây kim xuống sàn (bạn có thể thay kim bằng tăm cho an toàn hơn). Và để đơn giản hóa vấn đề, chúng ta giả định rằng chiều dài của kim bằng với khoảng cách giữa các vạch kẻ (d = L).

Bạn có thể thấy một cây kim cắt đường kẻ và cây còn lại thì không. Vậy, xác suất là bao nhiêu? Đây không phải là một bài toán tầm thường, nhưng hãy xem xét chỉ một cây kim được thả xuống. Chúng ta chỉ quan tâm đến hai giá trị: khoảng cách (x) từ đầu xa hơn của cây kim đến một đường kẻ, và góc của cây kim (θ) so với một đường vuông góc. Nếu x nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa các đường kẻ, kim sẽ cắt vạch. Như vậy, xác suất kim cắt vạch sẽ cao hơn khi x hoặc θ nhỏ hơn.

Nếu thực hiện các phép tính giải tích, bạn sẽ nhận được xác suất là 2/π cho trường hợp chiều dài kim bằng khoảng cách giữa các đường kẻ. Số Pi của chúng ta đã xuất hiện! Lý do nó có mặt ở đây là vì góc của cây kim biến thiên trong khoảng từ -π/2 đến +π/2.

Từ Thí Nghiệm Vật Lý đến Mô Phỏng Máy Tính

Tuy nhiên, bạn không cần phải tính toán phức tạp. Thay vào đó, chỉ cần thả một loạt kim, đếm số lần kim cắt vạch, và chia cho tổng số kim đã thả. Tỷ lệ này sẽ gần bằng xác suất cắt vạch (2/π). Từ đó, chúng ta có thể tìm ra giá trị của Pi:

Pi ≈ 2 * (Tổng số kim) / (Số kim cắt vạch)

Đã có những người thực sự thử nghiệm thả kim trên sàn nhà của họ, nhưng chúng ta có thể thực hiện một mô phỏng bằng số ngẫu nhiên với ngôn ngữ lập trình Python. Với 100 cây kim, một mô phỏng cho thấy 66 cây kim cắt vạch. Sử dụng con số này, chúng ta nhận được giá trị của Pi là 3.0303 — không phải 3.14 — nhưng cũng không quá tệ với chỉ 100 lần thử. Với 30.000 cây kim, bạn có thể đạt độ chính xác đến sáu chữ số thập phân.

Phương pháp Monte Carlo

Ý tưởng sử dụng các con số ngẫu nhiên để mô phỏng sự vật là vô cùng hữu ích, đặc biệt khi các phép toán quá phức tạp hoặc thậm chí bất khả thi. Phương pháp này được phát minh trong Dự án Manhattan vào năm 1946 để mô hình hóa các phản ứng hạt nhân, và nó được gọi là tính toán Monte Carlo, theo tên sòng bạc nổi tiếng ở đó. (Nếu được tạo ra ngày nay, có lẽ nó sẽ được gọi là "tính toán Vegas").

Tất nhiên, kỹ thuật này chỉ thực sự trở nên hữu dụng khi có máy tính, cho phép bạn chạy rất nhiều thử nghiệm. Ví dụ, bạn có thể sử dụng một số lượng lớn các quả bóng chuyển động ngẫu nhiên để tính toán áp suất trung bình lên thành bình chứa khi mô hình hóa một chất khí.

Mô phỏng trên máy tính để ước tính số Pi chính là một ví dụ của phương pháp Monte Carlo. Nhưng ngay cả khi bạn thả những cây kim vật lý xuống sàn nhà, nó vẫn được coi là một ước tính Monte Carlo — bởi vì vị trí của một cây kim được thả xuống về cơ bản là ngẫu nhiên. Đúng vậy, thí nghiệm cây kim của Buffon chính là một phương pháp tạo ra các con số ngẫu nhiên trong đời thực của thế kỷ 18!